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數論
數學家高斯(Gauss,1564～1643)說:.
數學是科學的女王，而數論是數學的女王。數論裏面還有許多看起來簡易的問題，到現在都沒有答案。一個著名的問題是費瑪最後定理，經過了三百多年後才得以證明，而且用的是非常深奧的手法。這就是數學的迷人之處。
各位可以用網路查一下以下的名詞在歷史上的定位，當成是學數論的一個準備:
figurate numbers:有形數
perfect numbers:完全數
amicable pairs(numbers):親和數
Prime Number Theorem:素數定理:關於質數(素數)可以參考這個網頁。請按此。
fundamental theorem of arithmetic:算數基本定理
twin primes:雙生質數:目前還不知道是否有無窮多個雙生質數
Goldbach Conjecture:哥德巴赫猜想。數論中著名的千古難題。
這裏有一個關於質數(素數)非常詳盡的網頁。請按此。
質數(素數)
質數簡介:連結一。連結二。連結三。連結四。連結五。連結六。
連續N個合數的建構方法:連結一。連結二。連結三。連結四。連結五。連結六。連結七。
質數的Euler恒等式:連結一。連結二。連結三。連結四。連結五。連結六。連結七。
質數的篩法:連結一。連結二。連結三。連結四。連結五。連結六。連結七。
質數與RSA密碼演算法的簡介一:連結一。連結二。連結三。連結四。連結五。連結六。連結七。
質數與RSA密碼演算法的簡介二:連結一。連結二。連結三。連結四。連結五。連結六。連結七。
根號二是無理數的證明：連結一。連結二。
數學歸納法的一個說明:連結一。連結二。
同餘
同餘的觀念和性質一:連結一。連結二。
同餘的觀念和性質二:連結一。連結二。
中國剩餘定理的說明一:連結一。連結二。
中國剩餘定理的說明二:連結一。連結二。
Mathematica的指令
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Mod[k,n] |
k用n除的餘數，同餘 |
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Quotient[m, n] |
m/n的商 |
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GCD[n1 , n2, … ] |
求最大公因數 |
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LCM[n1 , n2, … ] |
求最小公倍數 |
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KroneckerDelta[n1 , n2, …] |
所有的值相等時傳回1，否則傳回0 |
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Maple
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ifactorial(n) |
整數的因數分解。即把整數分解成質數得連乘積 |
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iqcd(x1,x2,…) |
求出最大公因數(greatest
common divisor) |
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ilcm(x1,x2,…) |
求出最小公倍數(least
common multiple) |
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rand() |
產生12個位數的整數亂數 |
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Rand(a..b)() |
產生a到b之間的正數亂數，其中a,b為整數 |
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e mod m |
求出e/m的餘數 |
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mods(e,m) |
以對稱方式來求出e/m的餘數(symmetric) |
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modp(e,m) |
求出e/m的正餘數(positive) |
質數、因數、質因數。
質數：一個大於 1 的整數，除了 1 和本身以外，沒有其它的正因數(數學上為了確保某正整數的質因數分解具有唯一性，故規定 1 不為質數)
Mathematica的指令
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FactorInteger[n] |
將整數質因數分解 |
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Divisors[n] |
列出所有整除n的整數 |
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Prime[k] |
排第k位的質數 |
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PrimePi[m] |
小於等於m的所有質數的總數 |
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PrimeQ[n] |
如果m為質數給出真值，如果m不為質數給出假值 |
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FactorInteger[n,GaussianIntegers−>True] |
在n是高斯整數的情形下質因數分解 |
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PrimeQ[n,GaussianIntegers−>True] |
在n是高斯整數的情形下判別n是否可分解 |
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Maple
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factorial(n)或n！ |
計算n的階乘，即1×2×3...×n |
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irem(m,n)
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計算m/n的整數餘數，其中m,n必須為整數 |
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irem(m,n,’q’) |
計算m/n的整數餘數，並將商存於變數q中 |
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iquo(m,n) |
計算m/n的整數商，其中m,n必須為整數 |
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iquo(m,n,’r’) |
計算m/n的整數商，並將餘數存於變數r中 |
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isqrt(x) |
求出最接近根號x的整數。若x<0，則isqrt(x)回應0 |
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iroot(x,n) |
計算出最接近x開n次方的整數。若x<0，則回應iroot(x,n)回應0 |
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ithprime(n) |
求出第n個質數(第一個質數為2) |
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nextprime(n) |
求出比整數n大的最小質數 |
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prevprime(n) |
求出比整數n小的最大質數 |
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isprime(n) |
判別n是否為質數。若是，回應true，否則回應false |
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